Escola
Estadual Dr. Álvaro Guião
Período:
90 minutos.
Data
prevista para aplicação do plano: 30/05/2012 e 06/06/2012.
Disciplina:
Matemática.
Responsável pelo plano: Graziele
Bombonato Delgado.
Público
alvo: 1ª, 2ª e 3º séries do Ensino Médio.
Conteúdo: Progressões
Geométricas: termos, razão e produto dos n termos de uma P.G.
Objetivos:
Revisar o conteúdo de progressões geométricas de
forma lúdica e fazer uma contextualização do jogo com o conteúdo visto em sala
de aula(teoria de P.G)
Materiais:
Folha
de sulfite, lápis e borracha.
Metodologia
Será aplicado aos alunos uma
extensão do Quadrado mágico aditivo (um quadrado formado pelos números 1, 2 3,
4 5, 6, 7, 8 ,9 cuja soma das diagonais, linhas e colunas é uma constante).
Porém o Quadrado será adaptado e passará a chamar “Quadrado mágico
multiplicativo”, que preserva suas propriedades, porém é formado por números
diferentes(termos de uma P.G.) e a operação é a multiplicação, portanto o
produto das linhas, colunas e diagonais é uma constante chamado “constante
mágica”.
Desenvolvimento:
A aula será iniciada da seguinte
maneira: explica-se o que é o quadrado mágico aditivo e então fala-se do
quadrado multiplicativo. O quadrado mágico aditivo é formado pelos números 1, 2
3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 e seus números são dispostos como mostrados na figura 1,
cuja soma das diagonais, linhas e colunas é uma constante k. O quadrado mágico
multiplicativo é composto por números diferentes, porém preserva as
propriedades iniciais pelo produto, ou seja, o produto das linhas, colunas e
diagonais é uma constante m.
Em seguida, será entregue aos alunos
uma folha com alguns quadrados mágicos em branco, para que eles completem.
Para o início da atividade, será
proposto que eles criem um quadrado mágico multiplicativo com os números 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256 cuja constante é 4096. A solução está
na figura abaixo:
As respostas podem ser diferentes,
pois se rotacionarmos ou refletirmos o quadrado e mantermos o termo central, o
produto se mantém.
A seguir, será proposto um novo
desafio aos alunos: Montar 2 quadrados mágicos multiplicativos com as
sequencias {3, 6, 12, 24, 48, 96, 192, 384, 768} e {100, 50, 25, 25/2, 25/4,
25/8, 25/16, 25/32, 25/64}. Porém dessa vez as constantes mágicas
multiplicativas não serão reveladas.
As constantes mágicas são (3³.2
elevado a 12) e (100³.1/2 elevado a 12), respectivamente. Caso os alunos sintam
muita dificuldade para montar, podemos revelar o termo central e se a
dificuldade persistir, revelamos também o as constantes multiplicativas.
Então faremos a pergunta: O que as
três sequencias de números propostos tem em comum?
A = {1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128,
256}, B = {3,
6, 12, 24, 48, 96, 192, 384, 768}, C = {100, 50, 25, 25/2, 25/4, 25/8, 25/16,
25/32, 25/64}.
Os alunos devem responder que as
três sequencias são Progressões Geométricas com razões diferentes. As razões de
A e B são iguais a 2 e a razão de C é ½.
Será explicado que se considerarmos
os números em ordem crescente como termos de uma p.g, podemos perceber que
todos os quadrados mágicos podem ser montados como o primeiro: dados 9 termos
de uma p.g, montamos o quadrado da seguinte maneira:
Observamos que o termo central da
P.G é também o termo central do quadrado mágico. Portanto, temos as soluções
dos quadrados mágicos propostos:
Prosseguindo, podemos escrever a
progressão geométrica com termos genéricos
e
como esses números formam uma p.g, podemos escrevê-las da seguinte maneira:
, onde r é a razão da p.g.
Dessa maneira, podemos recolocar os
números no quadrado:
Algumas
observações:
·
Todas
as linhas, colunas e diagonais tem o produto 
·
Além
disso, observamos que as potências de r formam um quadrado mágico aditivo: se
somarmos as potencias de r nas linhas, colunas e diagonais, todas resultam em
(r elevado a 12).
Portanto, se colocarmos apenas as potencias de r em
um outro quadrado, esse quadrado será um quadrado mágico aditivo:
Dessa
maneira, podemos designar a posição dos outros termos da p.g dentro do
quadrado, pois já sabemos que o termo central do quadrado deve ser o termo
central da p.g.
Vamos
dividir todos os termos da sequencia {1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256} por 16. Teremos uma nova
sequência:{1/16, 1/8, ¼, ½, 1, 2, 4, 8, 16, 32} e vamos colocar essa sequência
no quadrado de forma que a constante mágica seja 1.
Teremos o seguinte quadrado:
Agora
perceba: os valores simétricos são opostos no quadrado.
E como podemos obter a constante
mágica do quadrado?
Podemos obter a constante mágica
fazendo a raiz quadrada do produto de todos os termos da P.G:
Para obter o produto dos n termos de
uma P.G, temos a fórmula
Assim, extraímos a raiz cúbica desse
produto e encontramos a constante mágica do quadrado formado por essa P.G.
E então abordamos com os alunos de
maneira lúdica o conceito de razão, mostramos uma maneira de escrever uma P.G
usando apenas o primeiro termo (a1) e a razão e mostramos o produto dos n
termos de uma P.G.
Bibliografia:
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